Mandalategning (med Else Lyngø)  29. til 30. marts 2008

Det var et meget spændende kursus, som førte os tilbage til skoletidens geometritimer, hvor vi med passer og lineal konstruerede alverdens figurer.

På dette kursus handlede det om konstruktioner udfra grundtallene 1-9. Antallet af figurer eller felter, som man tegner i en mandala, har stor betydning. Man kan prøve bevidst og styret at få en bestemt talsymbolik frem, og ofte vil man opdage, at der alligevel har indsneget sig nye dimensioner og symboler, når man er færdig.

Pythagoras er matematikkens fader. Han var også en stor mystiker, og han mente at alt kunne ses i relation til tal. Det var Pythagoras' opfattelse af tallene 1-9, at de på makroplanet står for de universelle principper, medens de på mikroplanet står for det personlige niveau og udtrykker karakteregenskaber, evner og begivenheder. I følge Pythagoras' lære er det sådan, at udvkling er livets lov, tallene er universets lov og enheden er Gud. Hans elever i filosofi kaldtes mathemakoi, dem der studerer alt, og det er med den indfaldsvinkel vi anvender matematikken i konstruktionen af mandalaer.

Når vi anvender tallenes geometriske former bevæger vi os ind i matematikkens verden og berører det matematiske grundlag for den hemmelige geometri, som bygger på kvadratrødderne 2,3 og 5. Kvadratrod 2 ses i diagonalen til kvadratet, kvadratrod 3 ses i Vesica Piscis og kvadratrod 5 i diagonalen til det dobbelte kvadrat.






Her er symbolerne for tallene fra 1 til 9 og lidt om deres betydninger:

1-Tallet. Monade repræsenterer enhed, det maskuline princip, yang, originalitet og begyndelse. Jeg'et i perfekt balance. Symbolet er en cirkel og den har ingen begyndelse eller slutning. Johannes åbenbaring 1:17, jeg er den første og den sidste og den, som lever og 21:6, jeg er alfa og omega, begyndelsen og enden. Cirklen repræsenterer Gud, det komplette univers. Oldtidens folk siger at Gud er en sfærisk (kugleformet) intelligens, hvis center er allevegne og hvis omkreds er ingen steder. Cirklen rummer alle former. Et punkt i midten af en cirkel var det egyptiske, kinesiske og mayanske symbol for lys. Alting bevæger sig i cirkler, døgnet, årstiderne, livet mm. Livshjulet som en cirkel, der gentager sig, anvendes både i den kristne, indianske, tibetanske og hinduistiske symbolik. Hvis vi realiserer, at vi er centrum i vores egen mandala, i centrum i vores eget liv, så er vi i evigheden. Der findes intet nyt, men det, der er, kan hele tiden kombineres på nye måder og derved opstår nye afspejlinger af det, som er.

2-Tallet. Dyade repræsenterer dualitet, par-relation, det feministiske princip, yin, modsætninger og diplomati. Ting begynder at tage form. Proton-elektron, nordpol-sydpol. Livets udfoldelse sker gennem mødet. 1x1=1, der skabes intet nyt, men gennem spejling af 1+1 skabes noget andet. Dette symboliseres ved at tegne 2 cirkler med samme radius og symbolet vesica piscis eller mandorla opstår og mellem de 2 cirkler opstår den vertikale og den horisontale linie. Symbolet er en linie. Den vertikale linie repræsenterer ånden, der bevæger sig mod formen eller omvendt. Det er det maskuline princip. Den horisontale linie repræsenterer den individuelle energi hvorigennem formen skabes. Dette er det feminine princip. Korset er sammensat af disse to linier.

3-Tallet. Triade repræsenterer stabilitet, transformation af dualitet, manifestation, selvudtryk og kreativitet. Triaden er den form, der fuldstændiggører alle ting. Tre viser helhed og fuldstændiggørelse gennem en omfavnende syntese. Tre er det, der skaber overflade. Former, der er bygget i trekantkonstruktioner, er stærke feks. vores bækken eller et tag. Symbolet er en trekant. Den trefoldige guddomskraft, man feks. i kristendommen kender som Faderen, sønnen og Helligånden. Det spirituelle princip afspejler sig feks. i familiebilledet: far, mor og barn, fødsel, liv og død, de tre dimensioner højde, længde og bredde mm.

4-Tallet. Repræsenterer materie, stof og form. De 4 elementer, de 4 årstider, de 4 temperamenter, de 4 evangelister, de 4 faste tegn i dyrekredsen, de 4 verdenshjørner. 4-tallet symboliserer lov, system og orden. Indre sikkerhed, jord og forbindelsen til det jordiske. Stabilitet og disciplin. Symbolet er en firkant. Det fysiske niveau. Summen af vinklerne er 360 grader som i cirklen. Den udtrykker således en helhed, ligesom cirklen gør det, men på et mere jordisk plan. Korset kan også symbolisere 4-tallet (2x2) med sin opdeling af rummet i 4 felter.

5-Tallet. Repræsenterer mennesket og det mystiske møde med det guddommelige. Man ser også tallet 5 gå igen i kroppens anatomi: 5 fingre, 5 tæer, 5 sanser. 5 er det midterste af grundtallene. 5 symboliserer frihed, ændringer, evnen til at regenerere. Mødet mellem mennesket og det guddommelige ses i Kristus med de fem sår fra korsfæstelsen. Symbolet er pentagon og pentagrammet. Pentagrammet er billedet på mennesket i balance og linierne i pentagrammet repræsenterer, hvis de overføres på kroppen, naturlige polaritetsstrukturer. Filosoffer kender 5 som quintessensen, det der skaber liv. Vi møder 5 i Fibonaccitallene og det gyldne snit og indføres her i harmonien og skønhedens hemmeligheder.

6-Tallet. Repræsenterer ligevægt, balance i sjælen, harmoni, sandhed, retfærdighed, kærlighed og medfølelse. Symbolet er Davidsstjernen eller Salomons segl (2 sammenflettede trekanter, den ene med spidsen opad og den anden med spidsen nedad), en hexagon. Som foroven så forneden. En trekants vinkler er tilsammen 180 grader - halvdelen af cirklens og firkantens. Ved at have 2 trekanter over hinanden får man 360 grader og således igen en helhed, der peger hen mod både cirklens og firkantens symbolikker. Man må både se det, der kommer oppefra og det der kommer nedefra. Det giver en fuld harmoni. En fuld sandhed. Hvis de to trekanter står flade mod flade giver de samlet en firkant. Denne figur ses ofte i ikoner sammen med kvadratet omkring Guds hoved og omkring Helligånden. Sekskanten er den skabelon, som idkrystallerne danner deres mønstre udfra og det er den form bierne og silkeormene bygger deres kuber udfra.

7-Tallet. Er det mystiske tal. 7 dage i ugen. På den 7. dag hvilede Gud, da han skabte verden. Livet kan opdeles i 7-års cykler. De 7 dyder, De 7 dødssynder osv. 7 er åndens gave. Den fri kunst. Det mystiske ved 7-tallet kan ses i, at det fremkommer ved 3+4, men hvis man i stedet ganger de 3 med 4, får man tallet 12, som symboliserer den fuldkomne konstellation. Ensomheden og det tilbagetrukne er en del af 7-tallets egenskaber: Vær stille og kend Gud. Symbolet er den 7-takkede stjerne, en heptagon, og de 7 stjerner, som er helbredelsens symbol. Joh.Åb.: 1:17, Hemmeligheden om de 7 stjerner, som du så i min højre hånd, og om de 7 guldlysestager er den: De 7 stjerner er de 7 menigheders engle og de 7 lysestager er de 7 menigheder.

8-Tallet. Repræsenterer dåb og genfødsel. At høste, hvad men har sået. At være nær målet. Symbolet er en oktagon. De to firkanter. Tegnet omkring Guds hoved. En 8-takket stjerne på jomfru Marias klædning, pande og skuldre. Uendelighedstegnet, de to adskilte faser i en uendelig gentagelse.

9-Tallet. Repræsenterer afslutning på en cyklus og er på sin vis det ultimative tal. Det rummer og bygger på alle de foregående tals kvaliteter og egenskaber, men det har i sig selv ikke megen kraft. Det tager som regel ydre karakteristik efter de tal, det holdes sammen med. I sig selv er det karakteriseret ved uselviskhed, medfølelse og universel service. Symbolet er den 9-takkede stjerne, en enneagon, som består af 3 trekanter inden i hinanden.

 

Det gyldne snit. Det gyldne snit er en del af uendeligheden og kan beskrives som en måde at dele et liniestykke på.

Helheden forholder sig til det store stykke, som det store stykke forholder sig til det lille stykke. Det siges, at det gyldne snits proportioner modarbejder det onde og letter udviklingen af det gode. Disse proportioner ses i planter, dyr, vore kroppes dimensioner mm. Det anvendes indenfor arkitektur, billedkunst, brugskunst, musik og digtning.

Vi ønsker at dele et liniestykke i det gyldne snit:

1.       Midtpunktet M af AB bestemmes ved med passerens ene ben i henholdsvis A og B med det andet ben at markere en lille cirkelbue over og under AB. Tegn en linie mellem de to opståede punkter, som skærer linien AB i M.

2.       I B oprettes den vinkelrette og punktet C fremkommer hvor BC = AB

3.       Med M som centrum og MC som radius afsættes T i AB’s forlængelse

4.       Punktet S afsættes på AB så AS = BT. S deler AB i det gyldne snit og B deler AT i det gyldne snit

Det gyldne snit kan også laves på en anden og lettere måde:

Konstruér en retvinklet trekant, hvor den længste katete er 2 (enheder), og den korte katete er 1 (enhed) – se figuren.

Med en passer konstrueres en cirkel med centrum i B og radius .

Skæringspunktet med AB kaldes D.

Med passeren tegnes en cirkel med centrum i A og radius .

Skæringspunktet med AC kaldes E.

 Dette kan omskrives til , dvs. det er lig med tallet Φ.

Konklusion: Konstruktionen med de to cirkelbuer deler AC i det gyldne snit.

 

Det gyldne rektangel. Er et rektangel, hvor forholdet mellem den længste og den korteste side er det gyldne snit. Der kan skabes et gyldent rektangel ved at forlænge linierne fra A,S og T til punkterne D,E og G. ADGT er et gyldent rektangel og hvis man tager det størst mulige kvadrat ADCB væk, har vi endnu et gyldent rektangel BCGT.





 

Logaritmisk spiral.

Hvis man fortsætter delingen af det gyldne rektangel kan man tegne den logaritmiske spiral.

 

 

 

Den Gordiske knude.

1. Start som til en mandala

2. Tegn et kors - bestem selv korsets tykkelse.

3. Sæt et kryds som vist på fig. 2 på horisontale og vertikale linier. Det er dér passerspidsen skal stå, når buerne til knuden skal tegnes.

4. Sæt passerspidsen i krydsene og tegn de udvendige buer med radius efter eget ønske.

5. Sæt passerspidsen i krydsene igen og tegn de indvendige buer så de passer med korsstregerne.

 


Hjerter. Når man tegner hjerter, er det vigtigt med de rigtige proportioner, og dem får man ved at bruge to på hinanden følgende fibonaccital. Feks. er der til hjertet i fig. 1 benyttet tallene 3 og 5. De 4 hjerter i fig. 2 og 3 er dannet v.h.a. det halve af 3 og 5 = 1,5 og 2,5. Det mål er tilnærmelsesvis det gyldne snit.

1. Start som til en mandala + et kvadrat rundt om cirklen.

2. Inddel hver af de 4 kvadrater i 4 mindre kvadrater (se stiplede linier i fig. 2)

3.Sæt de udvendige buer på hjerterne ved at sætte passerspidsen i x-punktet v. de stiplede linier på kvadratlinien. Tegn de indvendige på samme måde - indstil passeren.

4. Tegn korset i midten ved at forbinde med buerne. Flet korset i midten.

 

 

Fibonacci-tal.

Siderne af firkanterne giver Fibonacci-tallene.



Fibonacci-tal fik deres navn i 1800-tallet, af Edouard Lucas, og er opkaldt efter den italienske matematiker Leonardo Fibonacci.

Fibonacci-tallene er betegnelsen for de tal som findes i følgen

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,...

Fra og med det tredje fremkommer tallene som summen af de to foregående tal i følgen: 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 osv. Når Fn betegner det n'te Fibonacci-tal,

er følgen altså fastlagt ved følgende rekursivedefinition: F1 = 1, F2 = 1 og Fn = Fn − 1 + Fn − 2 for n=>2

Talfølgen blev første gang beskrevet i 1202 af den italienske matematiker Fibonacci, men har nok været kendt længe før. Tallene kan relateres til en simpel model for populationers udvikling: Et kaninpar avler hvert år to unger, en han og en hun. Afkommet formerer sig også, men først efter to drægtighedsperioder. Begynder man med to unger, haves 1 par i år 1, og i år 2 er der stadig kun 1 par. I år 3 får det første par unger, og der er nu 2 par. I år 4 får det første par igen unger, og der er nu 3 par. I år 5 får det første par og deres unger unger, og der er nu 5 par. Hvert år øges antallet af kaninpar med det antal par som er fødedygtige, altså de par som allerede fandtes for to år siden. Antallet af par i et givet år, er derfor lig med summen af antallet af par i de to foregående år. Modellen tager ikke hensyn til aldring og fødeknaphed, men den kan faktisk bruges til at simulere udviklingen af unge populationer af encellede organismer der formerer sig ved celledeling.

 

Fibonacci-tal i kålhoved.




Fibonacci-tallene har følgende mærkelige egenskab: Deles et Fibonacci-tal med det foregående i følgen, fremkommer et forhold som nærmer sig det gyldne snit når man bevæger sig frem i følgen.

Med andre ord konvergerer  mod \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \simeq 1,618... når n går mod uendelig . Fibonacci-tallene kan endvidere genfindes i visse naturlige spiralmønstre, f.eks. når man tæller frø i solsikkeblomster, skæl i kogler eller buketter i blomkåshoveder.

Der er udgivet tabeller over Fibonacci-tal. Vil man benytte definitionen i det foregående til at beregne Fibonacci-tal, støder man ind i den vanskelighed at rekursionsformlen forudsætter kendskab til alle de foregående tal i følgen. Det er overkommeligt så længe n er lille, men tidskrævende hvis man f.eks. ønsker at beregne F1000. For store værdier af n kan man i stedet anvende følgende ikke-rekursive formel for det n'te Fibonacci-tal:

F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(  \left( \frac{1 + \sqrt{5} }{2}\right)^n -\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n \right)